一.概念描述

现代数学:如果一个整数的除数(因子)是一个质数，那么这个除数(因子)叫做这个数的质因数。将一个合数表示为质因数的乘积称为分解质因数。作为特例，把一个质数写成质因数的乘积，就是质数本身。

小学数学:2004年北京版第10册第57页指出，每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，称为这个合数的素因子。例如，12=2x2x3，2和3是12的质因数。一个合数以质因数相乘的形式表示，叫做质因数分解。

同一本教材第62页指出，如果两个数的最大公约数(公因数)为1，那么这两个数互为素数。

2013人教版教材五年级下册第83页提出公因数只有两个1的数，称为质数。

二。概念解释

①互质中的“两数”是指除0以外的所有自然数。“公因数只有1”也可以理解为“最大公因数是1”。另外，“公因子只有1”不能误认为“没有公因子”。

②三个或三个以上自然数互质有两种不同情况:一种是这些为互质数的自然数成对互质，如2、3、5，它们的最大公因式为1，所以是互质的。而且2和3互质，3和5互质，2和5互质，所以成对互质。另一个是这些变成素数的自然数不是成对的素数。如6，8，9，它们的最大公因式也是1，所以也是互质的。但是6和8不是质数，6和9也不是质数，所以成对不是质数。

③互质有以下几种情况:

A.两个不同的质数一定是互质数，比如2和5，11和19。

B.两个相邻的自然数一定是互质数，比如8和9。

C.两个相邻的奇数必须是质数，比如7和9。

D.大数是质数。两个数必须是互质数，比如31和18。

E.小数是质数，不是小数倍数的大数一定是互质数，比如7和22。

F.2和任何奇数必须互质，比如2和87。

G.1和任何非零自然数必须互质，比如1和4。

④素因子分解法。

分解素因子可以以分支的形式找到。如果把24分解成质因数:

24 24 24

/\ /\ /\

1 12 3 8 4 6

/\ /\ /\/\

2 6 2 4 2 2 2 3

/\ /\

2 3 2 2

以上三种方法都可以。通常乘法的质因数要从小到大大写，即24=2x2x2x3。

分解素因子也可以用短除法求。方法是:先用能把这个合数整除的最小素数(一般从最小的数开始)。如果得到的商是质数，就把除数和商写成乘法的形式。如果得到的商是合数，继续按上述方法除法，直到得到的商是质数，然后把每个除数和最后的商写成连乘的形式。

三。教学建议

①因子，素数，互质数，素因子，分解素因子等概念容易被学生混淆，

正确区分这些概念对于掌握数的除法基础知识非常重要。

因子和质因数:因子可以是质数、合数或1。1×3=3，1和3都是3: 2的因数& # 215；6=12，2和6都是12的因数。质因数要求因数本身必须是质数。例如，12=2x2x3，2和3是12的质因数。

质数、质因数和分解质因数:质数是指一个数，如“2是质数，19是质数”。质因数虽然也指一个数，但指的是分解后的合数，如“15=3×5，3是15的质因数，5也是15的质因数”。如果你离开15，单独说出来& # 8221；3是质因数，5是质因数”是不恰当的。所以，质因数有双重身份:第一，一定是质数；第二个必须是另一个数的因数。分解质因数就是用质因数相乘的形式来表示一个合数，分解的过程就是寻找这些质因数的过程。

与质数和质因数不同，互质数不是指单一的数，而是指除了1以外没有其他公因数的两个或两个以上的数。比如4和7的最大公因数是1，所以4和7是互质数，或者4和7是互质数，但不能说4是互质数，7是互质数。两个互质的数不一定是质数，比如1和4互质，8和9互质，但是1，4，8，9这四个数都不是质数。

可见，这些概念既有联系又有区别。只有帮助学生理解透彻，区分正确，才能防止混淆。

②用短除法分解质因数是学生学会用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数的基础。在教学中，学生可以学会用短除法分解质因数。

四。推荐阅读

(1)《小学数学知识树》(刘开云，李彦谚，北京大学出版社，2008年)

本书第一部分《数与运算》，第二章《数的除法》介绍了素因子、互质、素因子分解的知识。

(2)对“因数与乘法”教学内容的再思考(丁·，《小学教学》，2008年第2期)

本文分析了这部分内容中相关概念之间的密切关系以及学习这部分内容对于后续数学学习的重要意义。