一.概念描述

现代数学:循环小数一般有两种定义:

①从小数点后某一位置开始重复出现的一个或一段数的小数无限小数部分称为循环小数部分或无限循环小数部分:重复出现的一个或一段数称为循环段。循环小数的缩写是省略第一个循环段后的所有数字，在第一个循环段的前两位和后两位的上方加一个点。比如3.258258258 & # 8230；…= 3.258(2和8加一个点)。

循环小数分为两类:混合循环小数和纯循环小数。

混合小数:循环部分不是从小数部分的第一个数字开始的循环小数，如3。258(在5和8上加一个点)。

纯循环小数:从循环部分小数部分的第一个数字开始的循环小数，如3.258(2和8加一个点)。

②公理化定义:

循环小数是无限小数的一种特殊形式。对于无限小数0.a1a2…an。…，如果能找到两个正整数s≥0，t >: 0，使得as+I = as+kt+I. (i=1，2，…，t；k = 1，2，...)成立，那么这个无限小数叫做循环小数，记为0 . a1a 2 & # 8230；ass+1 & # 8230；s+t .对于一个循环小数，有无数个s和t值满足上述公式。如果取最小的s和t值，称为as+1as+2 & # 8230；As+t是这个循环小数的循环段，t称为循环段的长度；如果最小s=0，那么这个循环小数叫做纯循环小数；如果最小的s >: 0，则对应的循环小数称为混合循环小数，而从小数点到循环段之前的部分a1a 2 & # 8230；称为非循环部分。任何循环小数都必须转换成分数。

从数学的角度来说，第一个定义很好理解，小学数学教材的表述也与之类似。第二个定义科学严谨，体现了循环小数的本质。

小学数学:人教版2005年五年级教材第二册第28页明确指出:一个数的小数部分，从某一位置开始，一个数或几个数依次重复出现，这样的小数称为循环小数。

这和& # 8221；圆形十进制& # 8221；现代数学中的第一个定义基本相同。考虑到学生的认知，小学数学教材不提小数，默认为小数无限小数。

二。概念解释

循环小数在实际测量和生产生活中产生。在测量和共享时，经常会出现以下情况:

在除法中，两个数相除。如果不能得到整数商，通常有两种情况:一种是得到一个有限小数，另一种是得到一个无限小数。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算顺利通过，确实需要引入一个新的数，于是分数就产生了。

循环小数实际上是有理数的小数表示。比如三分之一、七分之二等简单的分数，在现实生活中有时需要用小数来表示，这时就会出现循环小数。

有时，如果需要，您可以将循环小数简化为分数。有两种情况:

纯循环小数的小数部分可以转换成分数:分子是循环段所代表的数；分母的位数都是9，9的个数等于一个循环段的位数。

混合循环小数的小数部分可以转化为分数:分子是第二个循环段前小数部分的个数与小数部分中非循环部分的个数之差；分母的前几位都是9，9后面的位数都是0，9的个数等于一个循环段的位数，零的个数等于非循环部分的位数。

三。教学建议

循环小数是一个学生很难理解和表达的概念，尤其是一些表达其含义的抽象表达式，如& # 8221；发行量& # 8221；、”无限& # 8221；等等。因此，教师应该在教学中通过创设情境来帮助学生理解概念。

(1)循环小数的意义可以通过直观体验突破困难。

黄爱华老师在讲授循环小数时，用& # 8221；从前，有座山上有座庙，庙里有个老和尚。老和尚对小和尚说:从前，有座山上有座庙，庙里有个老和尚。老和尚对小和尚说...&# 8221;这个故事介绍。在学生不断讲故事的生动有趣的情境中，感受和体验循环小数有什么& # 8221；无限& # 8221；、”反过来& # 8221；、”不断& # 8221；、”重复& # 8221；本质特征，如具体抽象的数学概念。同时，老师在课开始时用直观形象的方法排除障碍，分散了难点，为后面学习循环小数的意义做了铺垫。

(2)循环小数的意义通过除法计算不断完善。

故事介绍完后，黄老师呈现了两条信息:& # 8221；乌龟6分钟爬70米，蜗牛11分钟爬9.4米& # 8221；让学生独立计算乌龟和蜗牛的速度。(70÷6=11.66……,9.4÷11=0.85454……)

一些学生过了一会儿就不写了，而另一些学生怀疑老师犯了一个错误& # 8212；他们发现这种计算永远不能被分割，这正是学生通过计算体验循环小数的无穷性。

黄老师进一步引发学生思考& # 8221；为什么不继续分呢？你经历了什么，发现了什么规律？”为了引导学生通过观察垂直发现规律，让学生在计算实践中发现问题并尝试解决，通过讨论和交流理解概念。在计算的过程中，让学生亲身体验循环小数的生成过程，可以帮助他们加深对循环小数的理解，充分感受到循环小数是无穷的。在这一点上，黄老师要求学生说一说循环小数。有了前面的直观体验，通过计算的练习，学生可以通过交流不断提高循环小数的意义。

然后，通过师生之间的讨论& # 8221；这两个问题的商怎么表达？”由此可以得到循环小数的一般记法。

一般来说，学生表达自己的方式可能有几种。教师可以结合学生的四个答案讨论循环小数的记法。

70 ÷ 6 = 11.6 ................................................................................................................................................................

70 ÷ 6 = 11.66666 .....(可以这么说，但是写这么多太麻烦了& # 8221；6″)

70 ÷ 6 = 11.6(在6上加一个点；循环小数的简单符号)

70 ÷ 6 = 11.66 .....(它的意思是无限和& # 8221；6″这个数字一直重复)

这是学生主动寻找表格中非循环小数的解法的一种方式。这个过程突出了知识的形成过程，揭示了速记背后的真相，使学生掌握了速记的方法。

四。推荐阅读

①《数学辞海·第一卷》(邱光明，山西教育出版社，2002年)

在该书的第29页上，有一个右& # 8221；圆形十进制& # 8221；相关概念的详细解释。

(2)《听名师讲课:数学卷》(雷凌，广西教育出版社，2004)

该书的第42-43页包含黄爱华关于循环小数的教学片段和评论。